Historia de las Matemáticas

Nació: 18 de septiembre de 1819 en París, Francia
Murió: 11 de febrero de 1868 en París, Francia

El padre de Léon Foucalt, Jean Léon Fortuné Foucalt, era un editor que había conseguido una prometedora reputación mediante la publicación de una excelente colección de volúmenes de la historia de Francia. Cuando Léon era joven, su padre se retiró ya que su salud era bastante débil y la familia se trasladó desde París a Nantes. Sin embargo el retiro no produjo ninguna mejoría en la salud de su padre y murió en Nantes en 1829 cuando Léon tenía 9 años. Su madre decidió que volverían a Paris y desde los diez años Léon vivió con su madre en una hermosa casa en el cruce entre la calle de Vangirard y la calle d'Assas. La casa todavía existe y está señalada con una placa conmemorativa.

El padre de Léon no fue el único que sufrió de mala salud, el mismo Léon fue un niño muy frágil. Tenía un ojo miope y el otro hipermétrope, lo cual le dio una apariencia bastante desgarbada y esto empeoró por el hecho de que Léon era consciente de esta apariencia, inclinándose a preferir estar solo. Su madre le proporcionó grandes oportunidades educativas enviándole al Collège Stanislas pero él no pareció hacer fortuna de ellas. Sus profesores le describían como un perezoso, nunca presentaba el trabajo a tiempo, así que su madre tuvo que emplear tutores para educarle en casa. Lissajous, que era unos dos años y medio menor que Foucault, fue uno de los pocos amigos de su infancia. Escribió:

Nada sobre el chico anunciaba que sería ilustre algún día; Su salud era delicada, su carácter dócil, tímido y nada expansivo. La fragilidad de su constitución y su lenta manera de trabajar hacían imposible que estudiara en un colegio. Sólo fue capaz de estudiar con éxito gracias a la ayuda de tutores dedicados vigilados por su madre.

Foucault se hizo, sin embargo, buen amigo de uno de los estudiantes del Collège Stanislas, llamado Hippolyte Fizeau.

Nacido: 21 Mayo 1471 en la Ciudad Libre Imperial de Nüremberg (ahora en Alemania)
Muerto: 6 Abril 1528 en la Ciudad Libre Imperial de Nüremberg (ahora en Alemania)

Alberto Durero (Albrecht Dürer) fue el tercer hijo de Albrecht Dürer y Barbara Holfer. Fue uno de sus dieciocho hijos. La familia Durero venía de Hungría, habiendo nacido allí Alberto Durero Padre, y en esa época el nombre familiar era Ajtos. El nombre Ajtos significa 'puerta' en húngaro y cuando Durero padre y sus hermanos llegaron a Alemania eligieron el Nombre Türer que suena como el alemán 'Tür' que significa puerta. El nombre cambió a Durero pero Alberto Durero padre siempre firmó como Türer antes que como Durero.

Aquí encontrará retratos de su padre y su madre

Alberto Durero padre era un joyero que había sido aprendiz con Hieronymus Holfer, y se casó con la hija de Holfer. Alberto Durero hijo escribió sobre su padre y su educación (ver por ejemplo [3]):

Mi padre sufrió mucho y trabajó penosamente toda su vida, por que no tenía otros recursos que las ganancias de su comercio para mantener a su mujer y su familia. Llevó una vida honesta y temerosa de Dios. Su carácter era gentil y paciente. Se preocupaba poco por la sociedad y nada de las diversiones mundanas. Un hombre de muy pocas palabras y profundamente piadoso, puso gran atención a la educación religiosa de sus hijos. Su más ardiente esperanza fue que los altos principios que inculcó en sus mentes les haría mucho más merecedores de la protección divina de de la simpatía de la humanidad. Nos decía todos los días que debíamos amar a dios y ser honorables en nuestro trato con nuestros vecinos.

De joven Durero fue educado en la Lateinschule en St. Lorenz y también trabajó en el taller de su padre aprendiendo el empleo de orfebre y joyero. A la edad de 13 años ya era un pintor habilidoso como se ve en un autorretrato que pintó en esa época. Este fue el primero de muchos autorretratos que Durero pintó y proporcionan un maravilloso registro. Aquí está nuestra colección de esos autorretratos.

Si tratáramos hoy de contestar a la difícil pregunta '¿qué son las matemáticas?' muchas veces respondemos algo como 'El estudio de las relaciones entre conjuntos' o 'El estudio de las dependencias entre cantidades variables'. Si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas. Ciertamente, si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N sobre N o de N sobre R. E. T. Bell escribió en 1945:

Puede no ser demasiado generoso dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función; ya que una función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una correspondencia.

Sin embargo esto seguramente viene de ver a los antiguos matemáticos a través de ojos modernos. Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones específicas.

Si avanzamos hasta las matemáticas griegas entonces llegamos al trabajo de Ptolomeo. Él computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas. Seguramente, uno podría pensar, que si estaba calculando funciones trigonométricas entonces Ptolomeo debe haber comprendido el concepto de función. Como escribió O Petersen en 1974 [22]:

Pero si concebimos una función no como una fórmula sino como una relación más general que asocia elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, es obvio que las funciones en ese sentido abundan en el Almagesto.

Los números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia.

Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.

Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en si mismo. Por ejemplo, el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2 y al 3 y 1 + 2 + 3 = 6, 28 tiene divisores 1, 2, 4, 7 y 14 y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Un par de números amigables es un par como 220 y 284 tal que los divisores propios de un número suman el otro y viceversa.

Puede ver más acerca de estos números en el artículo de Números Perfectos en la sección de Artículos de Historia de las Matemáticas.

Nacido: sobre el 1288 en Ockham (cerca de Ripley, Surrey), Inglaterra
Muerto: 9 Abril 1348 en Munich, Baviera (ahora Alemania)

El nombre de Guillermo de Ockham se escribe a veces como Guillermo Ockham o William Ockham. Es también conocido como 'El Doctor más que sutil', o el 'Venerabilis Inceptor' (algo así como el Venerable principiante, pues nunca terminó su titulación en Teología). Nada se sabe de sus padres o de la primera parte de su vida antes de ingresar en la orden Franciscana a la edad de catorce años. Su educación tuvo lugar en un convento franciscano y fue casi con certeza en el convento de Londres ya que este actuaba como el centro educacional para el área en la que vivía. Sabemos que fue ordenado vicediácono por el arzobispo de Canterbury en Southwark, Londres, en 1306, lo que apoya que fuese educado en Londres. Después de esto algunos estudiantes eran enviados a París para una educación superior, el resto eran enseñados en un convento. No hay pruebas directas que apoyen cuál de estas alternativas siguió Ockham pero debió ser una de ellas. Fue enviado después a Oxford a estudiar una carrera teológica.

En Oxford Ockham dio conferencias sobre el Libro de Sentencias de Pedro Lombardo (1095-1160). Pedro fue un teólogo italiano del siglo 12 que había escrito la obra para reafirmar la posición encontrada en las Escrituras y la de los padres de la Iglesia en la doctrina cristiana. Pedro Lombardo, un teólogo conservador, escribió el texto como reacción contra algunos que en la época estaban aplicando la lógica de Aristóteles a la teología. Se requería que todo estudiante que aspirase a un grado superior en teología conferenciase y comentase sobre el Libro de Sentencias que es lo que hizo Ockham en Oxford en 1317-1319. El texto era usado como marco de trabajo para los estudiantes para desarrollar sus propias posiciones originales y para debatir con sus profesores y compañeros. En Junio de 1318 Ockham consiguió permiso para oír en confesión y alrededor de 1329 completó los estudios para su título de bachiller.

En 1889 se hizo un importante descubrimiento en el lugar arqueológico del pueblo de Xiao Dun en el distrito de Anyang de la provincia de Henan. Se descubrieron miles de huesos y caparazones de tortuga con inscripciones de antiguos caracteres chinos. El lugar fue la capital de los reyes de la dinastía de los Últimos Shang (esta época de los Últimos Shang es conocida también como dinastía Yin) desde el siglo XIV a.C. Los últimos doce reyes Shang gobernaron aquí hasta aproximadamente el año 1045 a.C. Los huesos y caparazones de tortuga habían sido usados como parte de ceremonias religiosas. Se inscribían preguntas en un lado de los caparazones, el otro lado se ponía al calor de un fuego y los trozos que aparecían se interpretaban como las respuestas a esas preguntas que daban los ancestros.

La importancia de estos hallazgos, en lo que respecta al aprendizaje sobre el antiguo sistema de numeración chino, fue que muchas de las inscripciones contenían información numérica acerca de hombres perdidos en combate, prisioneros tomados, número de sacrificios hechos, cantidad de animales cazados, número de días o meses, etc. El sistema numérico que se usaba para expresar esta información numérica estaba basada en el sistema decimal y era tanto aditivo como multiplicativo en su naturaleza. He aquí una selección de los símbolos que se usaban:

Fueron varios los factores que condujeron a que durante un largo período de tiempo el desarrollo de las matemáticas en China fuera independiente al de otras civilizaciones. Su particular orografía, con mares y montañas como fronteras naturales, aislaba al país. Por otra parte, cuando China era invadida, la cultura de los invasores extranjeros resultaba asimilada y no sucedía a la inversa. La consecuencia fue un continuo y aislado desarrollo cultural en China desde el año 1000 a.C. Resulta fascinante seguir el rumbo de las matemáticas dentro de esa civilización. Encontraremos varios períodos de rápido avance, ciertos períodos en los que se mantuvo un cierto nivel y algunos otros de declive.

Lo primero que debemos entender sobre las antiguas matemáticas chinas es el modo en el que éstas se diferencian de las matemáticas griegas. Al contrario que en las matemáticas helenas, no hay desarrollo axiomático. El concepto chino de prueba matemática es radicalmente diferente al de los griegos; aunque no por ello debe menospreciarse. Más bien tenemos que maravillarnos por su acercamiento y por los resultados a los que condujo.

Damos aquí una colección de problemas chinos extraídos de varios artículos de nuestro archivo de matemáticas chinas o matemáticos chinos. Muchos de los problemas tienen respuestas dadas en el correspondiente artículo, y algunos tienen una descripción del método. Cada problema tiene una referencia al artículo en el que se da.

Problema 1: ver Nueve capítulos

Un buen corredor puede dar 100 zancadas mientras un mal corredor da 60 zancadas. El corredor malo ha cubierto una distancia de 100 zancadas antes de que el corredor bueno salga en su persecución. ¿Cuántas zancadas da el corredor bueno hasta alcanzar al malo?

Problema 2: ver Cheng Dawei

El pastor B con su oveja detrás de él, le preguntó al pastor A: '¿hay 100 ovejas en tu rebaño?'. El pastor A respondió: 'suma este rebaño, otra vez el mismo rebaño, medio, un cuarto de rebaño y tu oveja. Entonces habrá 100 ovejas juntas'. ¿Cuántas ovejas hay en le rebaño del pastor A?

Problema 3: ver Yang Hui

1 cun cúbico de jade pesa 7 liang, y 1 cun cúbico de roca pesa 6 liang. Hay un cubo de 3 cun de lado consistente en una mezcla de jade y roca que pesa 11 jin. ¿Qué cantidad de jade y roca hay en el cubo? (1 jin = 16 liang).

Nacido: 23 Abril 1858 en Kiel, Schleswig-Holstein, Alemania
Muerto: 4 Oct 1947 en Göttingen, Alemania

Max Planck procedía de una familia académica, su padre, Julius Wilhelm Planck era profesor de Derecho Constitucional en la Universidad de Kiel en la época de su nacimiento, y tanto su abuelo como su bisabuelo habían sido profesores de teología en Göttingen. Su madre, Emma Patzig, era la segunda mujer de su padre. Sus padres eran relativamente mayores cuando él nació, su padre tenía 41 y su madre 37. Nació en el seno de una gran familia, era el sexto hijo de su padre (dos de los hijos eran de su primer matrimonio con Matilde Voigt), y creció en una tradición que respetaba en gran medida el estudio, la honradez, la justicia y la generosidad. Los valores en los que fue educado de joven se convirtieron rápidamente en los valores que llevó en el corazón a lo largo de su vida, mostrando el máximo respeto por las instituciones del estado y la iglesia.

Max comenzó su educación elemental en Kiel. En la primavera de 1867 su familia se trasladó a Munich cuando su padre fue nombrado profesor allí. Esta ciudad proporcionó un estimulante entorno para el joven muchacho que disfrutaba con su cultura, particularmente la música, y amaba pasear y escalar en las montañas cuando la familia se iba de excursión a la Bavaria Superior. Asistió a la escuela secundaria allí, ingresando en el famoso Maximilian Gymnasium en mayo de 1867. Lo hizo bien en el colegio, aunque no brillantemente, estando normalmente entre el tercero y el octavo de su clase. La música fue quizá su mejor asignatura y fue recompensando con el premio del colegio en catecismo y buena conducta casi todos los años. Se podría esperar que hubiese destacado en matemáticas y ciencias, pero ciertamente en sus primeros años escolares, aunque lo hizo bien, no hubo signos de un talento sobresaliente en estas materias. Sin embargo, hacia el final de su carrera escolar, su profesor Hermann Müller hizo crecer su interés en física y matemáticas, y se quedó profundamente impresionado con la absoluta naturaleza de la ley de conservación de la energía. Un informe escolar de 1872 reza así:

Justificadamente favorecido por ambos profesores y compañeros de clase ... y a pesar de tener métodos infantiles, tiene una mente muy clara y lógica. Se muestra como una gran promesa.

Nacida: 12 de mayo de 1820 en Florencia, Italia
Murió: 13 de agosto de 1910 en East Wellow, Inglaterra

Florence Nightingale es recordada sobretodo por su trabajo como enfermera durante la guerra de Crimea y por su contribución a la reforma de las condiciones sanitarias en los hospitales militares de campo. Sin embargo, lo que no se conoce tan bien sobre esta increíble mujer es su amor por las matemáticas, especialmente por la estadística, y cómo este amor jugó un papel importante en las labores que realizó durante su vida.

Nightingale lleva el nombre de la ciudad donde nació, la Villa Colombia en Florencia, Italia, el 12 de mayo de 1820. Sus padres, William Edward Nightingale y su esposa Frances Smith, viajaron por Europa durante los primeros dos años de su matrimonio. La hermana mayor de Nightingale había nacido un año antes en Nápoles. Los Nightingale llamaron a su primogénita el nombre griego de la ciudad, Parthenope.

William Nightingale se apellidaba Shore pero lo cambió a Nightingale después de heredar de un pariente rico, Peter Nightingale de Lea, cerca de Matlock, Derbyshire. La niñas crecieron en el campo y pasaban mucho tiempo en Lea Hurst en Derbyshire. Cuando Nightingale tenía unos cinco años su padre compró una casa llamada Embley cerca de Romsey en Hampshire. Con esto la familia pasaba los veranos en Derbyshire y el resto del año en Embley. Al viajar entre estos lugares visitaban Londres, la Isla de Wight y a parientes.

Nacido: el 23 de junio de 1912 en Londres, Inglaterra.
Falleció: el 7 de junio de 1954 en Wilmslow, Cheshire, Inglaterra.

Alan Turing nació en Paddington, Londres. Su padre, Julius Mathison Turing, era un miembro británico del Servicio Civil Indio y vivía frecuentemente en el extranjero. Ethel Sara Stoney, la madre de Alan, era la hija del ingeniero en jefe de los ferrocarriles de Madrás, por lo que los padres de Turing se habían conocido y casado en la India. Cuando Alan tenía alrededor de un año de edad su madre volvió a convivir con su marido en la India, dejando a Alan con amigos de la familia. El pequeño fue enviado a la escuela pero no parecía obtener ningún beneficio, por lo que dejaron de mandarlo luego de un par de meses.

Luego fue enviado a la Escuela Preparatoria Hazlehurst, donde parecía ser un estudiante 'promedio a bueno' en la mayoría de las asignaturas, pero le atraía más seguir sus propias ideas. Comenzó a interesarse en el ajedrez mientras estudió allí, y también se unió al grupo de debate. Completó su Examen de Ingreso Común en 1926 y luego concurrió a la escuela Sherborne. Ahora bien, 1926 fue el año de la huelga general, y mientras estuvo en proceso, Turing viajaba en bicicleta unos 96 kilómetros desde su hogar hasta la escuela, una tarea no muy demandante para Turing, que luego sería un atleta de nivel casi olímpico. Encontró muy difícil acertar con lo que se esperaba de él en esta escuela, pero su madre estaba decidida a que su hijo tuviera una educación escolar privada. Muchos de los pensadores más originales han encontrado a la escuela convencional un proceso prácticamente incomprensible, y este parece haber sido el caso de Turing. Su genio lo llevó por sus propios caminos más que por los que le marcaban sus profesores.

Fue criticado por su escritura, luchó con el Inglés, e incluso en matemáticas estaba demasiado interesado en sus propias ideas como para encontrar soluciones a los problemas usando los métodos que le enseñaron sus profesores. A pesar de producir respuestas no convencionales, Turing ganó casi todos los premios matemáticos posibles mientras estudiaba en Sherborne. En química, una asignatura que le había interesado desde muy pequeño, llevó a cabo experimentos siguiendo su propia agenda, lo que no complacía a su profesor. Su director escribió (ver [6]):

Si va a permanecer en la Escuela Privada, debe esforzarse por ser educado. Si quiere ser solamente un Científico Especialista, está perdiendo su tiempo en la Escuela Privada.

Esto habla más del sistema educativo al que Turing estaba siendo sujeto que de Turing mismo. Sin embargo, Turing aprendió matemáticas avanzadas mientras estaba en la escuela, aunque seguramente sus profesores no estaban al tanto de los estudios que él realizaba por su cuenta. Leyó las investigaciones de Einstein sobre la relatividad y también sobre mecánica cuántica¹, en el libro La naturaleza del mundo físico, de Eddington.

Nacido: 28 de diciembre de 1903 en Budapest (Hungría)
Muerto: El 8 de febrero de 1957 en Washington D.C. (EEUU)


Von Neumann nació János von Neumann. Fue llamado Jancsi cuando era niño, un diminutivo de János, y más tarde fue llamado Johnny en los Estados Unidos. Su padre, Max Neumann, fue un importante banquero y él fue criado en una familia muy amplia. De niño, viviendo en Budapest, aprendió idiomas de las institutrices alemanas y francesas empleadas. Aunque su familia era judía, Max Neumann no observaba las prácticas religiosas estrictamente y en el hogar parecían mezclarse las tradiciones judía y cristiana.

También merece la pena explicar como Max Neumann adquirió el 'von' para convertirse en János von Neumann. En 1913 Max Neumann compró un título pero no cambió su nombre. Su hijo, sin embargo, utilizó la forma alemana von Neumann, donde el 'von' indicaba el título.

Nace: 7 de octubre de 1885 en Copenhague, Dinamarca
Muere: 18 de noviembre de 1962 en Copenhague, Dinamarca

Los padres de Niels Bohr se llamaban Christian Bohr y Ellen Adler. En 1880 la Universidad de Copenhague otorgó el doctorado en Fisiología a Christian Bohr y en 1881 se convirtió en Profesor Adjunto de la universidad. A finales de ese año contrajo nupcias con Ellen, quien era hija de David Adler, político judío de alta posición en la vida política y comercial de Dinamarca. Christian y Ellen tuvieron tres hijos. La mayor era Jenny, quien nació en 1883 en la mansión que pertenecía a David Adler frente al Castillo Christianborg, en donde se ubicaba el Parlamento Danés. La madre de Ellen continuó viviendo en esta casa después de que su esposo falleciera en 1878; Ellen regresó ahí para dar a luz a su primera hija. Dos años más tarde nació Niels en el cumpleaños número 25 de su madre en la misma majestuosa casa, al haber regresado Ellen nuevamente ahí para este acontecimiento. El tercer hijo de la familia, quien después se convertiría en un famoso matemático, fue Harald Bohr, quien era dos años menor que Niels.

Cuando Niels tenía sólo unos cuantos meses de nacido su padre fue nombrado conferencista para cubrir la vacante que quedó tras el fallecimiento de Peter Panum, catedrático de fisiología en la Universidad de Copenhague. Después de un corto espacio de tiempo la familia se mudó a la casa de catedráticos que habitara Panum en Copenhague.

Kennedy escribe en [5]:

Niels, Harald y su hermana mayor Jenny, crecieron en un hogar culto y estimulante. Desde su tierna infancia estuvieron expuestos a un mundo de ideas y debate, de puntos vista conflictivos analizados racional y afablemente, desarrollando respeto por todos aquellos que buscan una comprensión y conocimientos más profundos.

En octubre de 1891 Niels entró a la escuela Grammelholms, al igual que después hiciera su hermano Harald, hasta completar su educación secundaria, presentando sus exámenes finales en 1903. Fue un buen estudiante pero nunca el más brillante, ocupando por lo general el tercer o cuarto lugar de la clase en un grupo de aproximadamente 20 estudiantes. Si realmente destacó en alguna materia, ésta era, quizás sorprendentemente, educación física. Fue un excelente jugador de balompié, pero no tan bueno como su hermano Harald, quien ganó una medalla de plata para Dinamarca jugando este deporte. Niels entabló buena amistad con algunos de sus compañeros de escuela pero su mejor amigo durante toda su vida fue su hermano Harald.

Nacido: 14 Dic 1546 en Knudstrup, Dinamarca
Muerto: 24 Oct 1601 en Praga, Bohemia (ahora República Checa)

Tycho Brahe fue bautizado Tyge por sus padres Beate Bille y Otte Brahe. Es ahora conocido como Tycho ya que es la versión latinizada de su nombre que él adoptó cuando tenía unos quince años. Por simplificar usaremos el nombre Tycho a lo largo de esta biografía. Otte Brahe, el padre de Tycho, procedía de la nobleza danesa y era un hombre importante entre el grupo más cercano de adictos al rey danés. Beate Bille, la madre de Tycho, también venía de una importante familia que había producido importantes eclesiásticos y políticos. Tycho fue uno de dos gemelos, pero su gemelo murió poco después de nacer. Sus padres ya tenían una hija anterior pero Tycho fue su primer hijo varón.

He aquí una imagen de su lugar de nacimiento.

Un extraño episodio ocurrió cuando Tycho tenía dos años. Su tío, Jorgen Brahe (en palabras del mismo Tycho, ver por ejemplo [5]):

... sin el conocimiento de mis padres me llevó con él mientras estaba en mi primera juventud.

Fue un extraño episodio ya que no parece causar disputas familiares ni hizo que sus padres intentasen recuperarlo. Jorgen Brahe, y su mujer Inger Oxe no tenían hijos propios, y actuaron como padres adoptivos para Tycho hasta la muerte de Jorgen. Brahe, como su hermano Otte Brahe, fue un noble principal danés mientras que Inger Oxe era la hermana de Peder Oxe que fue miembro de los Rigsraads, el consejo de gobierno compuesto de 20 consejeros del Rey. De hecho Tycho se benefició mucho en el aspecto educacional de su madre adoptiva Inger Oxe que tenía inquietudes intelectuales como otros miembros de su familia, mientras que los Brahes y los Billes tenían poco tiempo para pretensiones educativas.

Nace: 8 de Junio de 1625 en Perinaldo, República de Génova (actualmente Italia)
Muere: 14 de Septiembre de 1712 en París, Francia

Lo primero que deberíamos aclarar en esta biografía es el nombre de Giovanni Cassini. Sus padres, Jacopo Cassini y Julia Crovesi, le dieron el nombre de Giovanni Domenico, tras su nacimiento en Italia. Sin embargo también usó el nombre de Gian Domenico Cassini, y después de trasladarse a Francia, cambió su nombre por la versión francesa del mismo Jean-Dominique Cassini. Para agregar solo un comentario más a la cuestión de su nombre, fue el primero de la famosa familia de astrónomos Cassini y por esta razón a menudo es conocido como Cassini I.

Sabemos poco sobre sus padres pero con seguridad su padre fue toscano. De hecho Giovanni fue educado no por sus padres, sino por su tío, un hermano de su madre Julia Crovesi. Tras pasar dos años recibiendo educación en Vallebone, Cassini entró en el Colegio de los Jesuitas de Génova donde estudió tutelado por Casselli. Tras esto estudió en la abadía de San Fructuoso. Taton escribe [1]:-

Demostró una gran curiosidad intelectual y estaba especialmente interesado en poesía, matemáticas y astronomía.

Nacido: 19 Feb 1473 en Torun, Polonia

Muerto: 24 May 1543 en Frauenburg (ahora Frombork), Polonia

Nicolás Copérnico

Nicolaus Copernicus es la versión latina del nombre del famoso astrónomo que eligió más adelante en su vida. La forma original de su nombre era Mikolaj Kopernik o Nicolaus Koppernigk pero usaremos Copérnico a lo largo de este artículo. Su padre, también llamado Nicolaus Koppernigk, había vivido en Cracovia antes de mudarse a Torun en el que estableció un negocio de comercio de cobre. Estaba también interesado en la política local y se convirtió en un líder ciudadano en Torun y en magistrado. Se casó con Bárbara Watzenrode, que venía de una familia de bien de Torun, alrededor de 1463. Se mudaron a una casa en la Calle St. Anne de Torun, pero también tenían una residencia de verano con viñedos en las afueras. Nicolás y Bárbara Koppernighk tuvieron cuatro hijos, dos niños y dos niñas, de los que Nicolás Copérnico fue el más joven.

Puede ver una imagen de la casa en la que nació Copérnico.

Cuando el joven Nicolás tenía diez años su padre murió. Su tío Lucas Watzenrode, que era canónigo en la Catedral de Frauenburg se convirtió en el tutor de los cuatro hijos de Nicolaus y Barbara Koppernigk.

Puede ver una imagen de Lucas Watzenrode.

Nicolás y su hermano Andreas permanecieron en Torun, continuando su educación elemental allí. En 1488 Nicolás fue enviado por su tío a la escuela de la catedral de Wloclawek en donde recibió una buena educación humanista estándar. Tras tres años de estudio en Wloclawek ingresó en la Universidad de Cracovia (situada en lo que entonces era la capital de Polonia). Por esta época Lucas Watzenrode fue Obispo de Ermland e imaginó una carrera eclesiástica para sus dos sobrinos. Andreas, el hermano de Nicolás, entró en la Universidad de Cracovia al mismo tiempo, y sus dos nombres aparecen en los registros de matriculación de 1491-92.

Biografía de Galileo Galilei

Nacido: 15 Feb 1564 en Pisa (ahora en Italia)
Muerto: 8 Ene 1642 en Arcetri (cerca de Florencia) (ahora en Italia)

Los padres de Galileo Galilei fueron Vincenzo Galilei y Guilia Ammannati. Vincenzo, que nació en Florencia en 1520, era profesor de música y un excelente intérprete de laúd. Tras estudiar música en Venecia llevó a cabo experimentos con las cuerdas para apoyar sus teorías musicales. Guilia, que nació en Pescia, se casó con Vincenzo en 1563 y establecieron su hogar en el campo cerca de Pisa. Galileo fue su primer hijo y pasó sus primeros años con su familia en Pisa.

En 1572, cuando Galileo tenía ocho años, su familia regresó a Florencia, la ciudad natal de su padre. Sin embargo, Galileo permaneció en Pisa y vivió durante dos años con Muzio Tedaldi que era pariente de la madre de Galileo por matrimonio. Cuando cumplió los diez años, Galileo abandonó Pisa para unirse a su familia en Florencia y allí fue educado por Jacopo Borghini. Cuando tuvo la edad suficiente para ser educado en un monasterio, sus padres lo enviaron al de Camaldolese en Vallombrosa que está situada en una magnífica colina boscosa a 33 kilómetros al sureste de Florencia. La orden de Camaldonese era independiente de la orden benedictina, habiéndose separado de ésta en el 1012. La orden combinaba la vida solitaria del ermitaño con la estricta vida del monje y pronto el joven Galileo encontró atractiva esta vida. Se convirtió en novicio, con la intención de unirse a la orden, pero esto no gustó a su padre que ya había decidido que su primogénito se convertiría en médico.

Vincenzo dispuso que Galileo regresara de Vallombrosa a Florencia y abandonara la idea de unirse a la orden de Camaldolese. Continuó su educación en Florencia, sin embargo, en una escuela dirigida por los monjes de Camaldonese. En 1581 Vincenzo envió a Galileo de nuevo a Pisa para vivir de nuevo con Muzio Tedaldi y ahora para matricularse en una carrera médica en la Universidad de Pisa. Aunque la idea de unos estudios médicos no parece haber atraído nunca a Galileo, el deseo de su padre era bastante razonable ya que había habido un médico distinguido en su familia en el siglo anterior. Galileo nunca parece haber tomado los estudios médicos muy en serio, asistiendo a clases sobre su verdadero interés que eran las matemáticas y la filosofía natural. Su profesor de matemáticas en Pisa fue Filippo Fantoni, que tenía la cátedra de matemáticas. Galileo regresó a Florencia para las vacaciones de verano y allí continuó estudiando matemáticas.

Si tenemos dos candidatos A y B y uno de ellos será electo mediante una votación, entonces hay sistema justo bastante obvio. Los votantes emiten un voto o por el candidato A o por el B. Sin embargo, si se tiene que votar por un número mayor de candidatos, entonces hay que preguntarse cómo debe hacerse.

Por ejemplo, una de las primeras formas de democracia en Grecia fue introducida por Cleistenes en 508 a.C. Esta era una manera más bien negativa de elección ya que cada año se pedía a los votantes que emitieran un voto por el político a quien más deseaban desterrar por diez años. Los votos se escribían sobre ostraka, pedazos de vasijas rotas, y de aquí viene la palabra ostracismo. Si ningún político recibía más de 6000 votos, entonces todos se quedaban pero si uno o más de ellos recibían más de 6000, entonces el que tuviera el mayor número era exiliado. Pedir que alguien tuviera más de 6000 votos antes de ser desterrado era un incentivo para tratar de asegurarse que solamente se desterrara a una persona cuando era impopular entre un número grande de votantes. Si había una distribución relativamente pareja de los votos, nadie obtendría más de 6000 y no importaría que alguien obtuviera más que los demás en este caso.

Un artículo sobre el infinito en un Archivo de la Historia de las Matemáticas presenta problemas especiales. ¿Se concentra uno puramente en los aspectos matemáticos del tema o se consideran los aspectos filosóficos o incluso religiosos? En este artículo veremos que históricamente no pueden separarse los aspectos filosóficos y religiosos de los matemáticos dado que juegan un papel importante en cómo se desarrollaron las ideas.

Discutiremos más adelante si la ecuación de Pell tiene el nombre correcto. Queremos simplemente decir: ¿Contribuyó Pell en algo al estudio de la ecuación de Pell? No hay duda alguna de que la ecuación había sido estudiada a profundidad por cientos de años antes del nacimiento de Pell. De hecho, la primera contribución se debe a Brahmagupta y fue hecha unos mil años antes de la época de Pell y es en este punto en el que empezamos nuestro estudio de su historia.

Digamos primero qué es la ecuación de Pell. Estamos hablando de la ecuación cuadrática indeterminada

nx² + 1 = y²

que también puede escribirse como

y² - nx² = 1

donde n es un entero dado y estamos buscando soluciones enteras (x, y).