Historia de las Matemáticas

Nació: alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Antalia, Turquía)
Murió: alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, Egipto.

Apolonio de Perga era conocido como 'el gran geómetra'. Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas¹ introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola², elipse³ e hipérbola⁴.

Apolonio de Perga no debe ser confundido con otro estudiosos griegos llamados Apolonio, ya que éste era un nombre muy común. En [1] se dan detalles de otros con ese mismo nombre: Apolonio de Rodas, nacido alrededor del 295 a.C., poeta y gramático griego, alumno de Calímaco que fue maestro de Eratóstenes; Apolonio de Tralles, siglo II a. de C. escultor griego; Apolonio el ateniense, siglo I a. de C., escultor; Apolonio de Tiana, siglo I, miembro de la sociedad fundada por Pitágoras; Apolonio Díscolo, siglo II, gramático griego que es conocido por ser el fundador del estudio sistemático de la gramática; y Apolonio de Tiro que es un personaje literario.

Apolonio el matemático nació en Perga, Panfilia, lo que es hoy conocido como Murtina, o Murtana y se encuentra en Antalia, Turquía. En esa época, Pérgamo era conocido como centro cultural y además era el lugar en el que se hallaba el santuario de la diosa Artemisa. De joven Apolonio fue a Alejandría donde estudió con los seguidores de Euclides y donde más tarde él mismo daría clases. Apolonio visitó Pérgamo lugar en el que existía una universidad y una biblioteca similares a las de Alejandría. Pérgamo, hoy la ciudad de Bergama en la provincia turca de Izmir, era una antigua ciudad griega de Misia. Estaba situada a 25 kms. del mar Egeo sobre una colina en el lado norte del amplio valle del río Caicus (hoy río Bakir).

Mientras Apolonio estuvo en Pérgamo se encontró con Eudemo de Pérgamo (no confundir con Eudemo de Rodas que escribió la Historia de la Geometría) y también con Atalo, considerado por algunos como el rey Atalo I de Pérgamo. En el prefacio a la segunda edición de su Las cónicas, Apolonio se dirigió a Eudemo (ver [4] o [5]):

Si estás saludable y las cosas están en otros asuntos como deseas, todo está bien; yo también me siento moderadamente bien. Durante la época que estuve contigo en Pérgamo observé tu impaciencia por pasar a limpio mi trabajo 'Las cónicas'.

Lo único que sabemos sobre la vida de Apolonio lo encontramos en el prefacio de las diferentes ediciones de Las cónicas. Sabemos que tuvo un hijo, llamado como él, y de hecho sabemos también que su hijo llevo la segunda edición de Las cónicas desde Alejandría hasta Eudemo en Pérgamo. También sabemos partiendo del prefacio del libro que Apolonio presentó al geómetra Filónidas a Eudemo mientras estuvieron en Éfeso.

Sabemos bastante más sobre los libros que escribió Apolonio. Las cónicas estaba dividido en ocho volúmenes pero tan sólo los cuatro primeros han perdurado en el griego original. En árabe, sin embargo, podemos encontrar los siete primeros.

Debemos remarcar en primer lugar que para Apolonio las secciones cónicas son por definición las curvas formadas por un plano que intersecta la superficie de un cono. Apolonio explica en su prefacio cómo llegó a escribir su famoso trabajo 'Las cónicas' (ver [4] o [5]):

... comencé investigando esta materia a petición de Náucrato el geómetra en la época en la que vino a Alejandría y permaneció conmigo, y, cuando terminé los ocho libros se los entregué en el momento, muy deprisa, porque estaba marchándose por mar; no habían sido revisados, de hecho los escribí de un tirón, posponiendo su revisión hasta el final.

Los libros I y II de Las cónicas comenzaron a circular sin ninguna revisión, de hecho hay evidencias de que ciertas traducciones que han llegado a nosotros proceden de esos primeros manuscritos. Apolonio escribe (ver [4] o [5]):

... algunas personas también, entre mis conocidos, consiguieron el primer y el segundo libro antes de que los corrigiera. ...

Las cónicas se dividía en 8 volúmenes. Del uno al cuatro forman una introducción elemental a las propiedades básicas de los conos. La mayor parte de los resultados de estos libros eran conocidos por Euclides, Aristeo y otros pero algunos son, en palabras del propio Apolonio:

... más trabajados y generalistas que en los escritos de otros.

En el libro uno se estudian las relaciones entre los diámetros y tangentes⁵ de los conos, mientras que en el libro dos Apolonio investiga como se relacionan las hipérbolas con las asíntotas⁶, y estudia además como dibujar tangentes para conseguir conos. Hay, sin embargo, nuevos resultados en estos libros, en particular en el tercero. Apolonio escribe de este texto (ver [4] o [5]):

... los mejores y más hermosos de estos teoremas son nuevos, y su descubrimiento me advirtió que Euclides no consiguió la síntesis de los lugares geométricos⁷ con respecto a tres o cuatro líneas, sino tan sólo una pequeña porción, y sin éxito; porque no era posible para tal síntesis ser completada sin la ayuda de los teoremas que he descubierto.

Los libros V al VII son muy originales. En ellos Apolonio discute las normales⁸ a las cónicas y muestra cuantos pueden dibujarse a partir de un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura que conduce a la ecuación cartesiana de la evoluta⁹. Heath escribe del libro cinco [5]:

... es el más importante de los libros. Trata de normales a las cónicas vistas como líneas rectas máximas y mínimas dibujadas desde los puntos particulares de una curva. Incluido en él existen una serie de proposiciones las cuales, aunque resueltas mediante los más puros métodos geométricos, conducen directamente a la determinación de la evoluta de cada uno de las tres cónicas; o lo que es lo mismo, las ecuaciones cartesianas de las evolutas pueden ser fácilmente deducidas de los resultados obtenidos por Apolonio. No hay ninguna duda de que el libro es casi todo original y es un verdadero 'tour de force' geométrico.

La belleza de los Las cónicas de Apolonio puede adivinarse fácilmente leyendo las proposiciones de Heath, ver [4] o [5]. Sin embargo, Heath explica en [5] lo difícil que resulta leer el texto original:

... el tratado es un gran clásico que merece ser mejor conocido de lo que es en realidad. Lo que lo hace tan difícil de leer en su forma original es la enorme extensión de la exposición (contiene 387 proposiciones separadas), debido principalmente al hábito de los griegos de demostrar casos particulares de una proposición general de forma separada a la propia proposición, pero más a la voluminosidad de los enunciados de complicadas proposiciones en términos generales (sin la ayuda de letras para marcar puntos particulares) y a la elaboración de la forma euclidiana, a la que Apolonio se adhiere de forma absoluta.

Pappo proporciona algunas indicaciones del contenido de los restantes seis libros de Apolonio. Eran: Corte de una razón (en dos libros), Corte de un área (en dos libros), Determinación de una sección (en dos libros) y Construcciones (en dos libros). Corte de una razón sobrevive en árabe y el bibliógrafo del siglo X Ibn al-Nadim nos dice que otros tres trabajos fueron traducidos al árabe aunque ninguno de ellos ha llegado a nuestros días.

Para ilustrar lo lejos que llegó Apolonio en su geometría comparándola con los Elementos de Euclides podemos considerar los resultados que se sabe estaban contenidos en Tangentes. En el libro III de los Elementos, Euclides muestra cómo dibujar un círculo mediante tres puntos dados. En Tangentes, Apolonio muestra cómo construir el círculo tangencial a tres líneas dadas. De forma más general muestra cómo construir el círculo que es tangente a tres objetos cualesquiera, sean puntos, líneas o círculos.

En [11] Hogendijk cuenta que dos trabajos de Apolonio, que se desconocía que estuvierann traducidos al árabe, eran conocidos por geómetras musulmanes del siglo X. Son los trabajos Plane loci y Construcciones. En [11] se describen algunos resultados de esos trabajos que desconocíamos fueran demostrados por Apolonio.

De otras fuentes surgen referencias a más trabajos de Apolonio, ninguno de los cuales ha perdurado. Hípsiclo hace referencia a un trabajo de Apolonio en el que compara un dodecaedro¹⁰ y un icosaedro¹¹ inscritos en la misma esfera, que como Las cónicas apareció en dos ediciones. Marino, escribiendo un comentario sobre los datos de Euclides, hace referencia a un trabajo general de Apolonio en el que se discuten los fundamentos de las matemáticas tales como el significado de los axiomas. Apolonio también escribió sobre las hélices cilíndricas y otro sobre los números irracionales¹², así lo menciona Proclo. Eutocio hace referencia a un libro de Apolonio en el que obtiene una aproximación para π mejor que la de

²²³/₇₁ < π < ²²/₇

conocida por Arquímedes. En El espejo ardiente, Apolonio demostró que los rayos paralelos de luz no se concentran en un foco por un espejo esférico (como se creía con anterioridad) y discutió las propiedades focales de un espejo parabólico.

Apolonio también fue un importante fundador de la astronomía matemática griega, que utilizaba modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. Ptolomeo en su libro Sintaxis introdujo sistemas de movimiento excéntrico¹³ y epicíclico¹⁴ para explicar los movimientos aparentes de los planetas a través del cielo. Y esto no es del todo cierto ya que la teoría de epiciclos parte de las ideas de Apolonio.

Apolonio hizo contribuciones sustanciales usando sus grandes destrezas geométricas. Particularmente hizo un estudio de los puntos donde un planeta aparece estacionario, nombrando los puntos donde el movimiento hacia delante cambia a retrógrado o a la inversa.

Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimiento sobre los conos, para resolver problemas prácticos. Desarrolló el hemiciclo, un reloj solar que marcaba las líneas de las horas en la superficie de una sección cónica proporcionando mayor precisión.


Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Glosario

1. Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse intersectando un plano y un cono (de doble lado).
   
2. Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x².
   
3. Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e que es < 1. A e se le llama la excentricidad de la elipse. También se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax² + by² = 1.
   
4. Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax² - by² = 1.
   
5. Una tangente a una curva en el punto p es la mejor aproximación lineal a la curva cerca de ese punto. Puede verse como el límite de todas las secantes desde el punto p a otros puntos cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en el punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan o son tangentes.
   
6. Una asíntota a una curva es una línea recta (o, de manera más general, otra curva) que está arbitrariamente cerca de la curva. Una hipérbola tiene un par de líneas rectas como asíntotas.
   
7. Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que comparten una propiedad común. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante.
   normal
   
8. La evoluta de una curva es la envolvente de las normales a la curva. También puede considerarse como el lugar geométrico de los centros de curvatura.
   
9. Un dodecaedro es un poliedro regular con 12 caras, cada una de las cuales es un pentágono regular.
   
10. Un icosaedro es un poliedro regular con 20 caras, cada una de las cuales es un triángulo equilátero.
    
11. Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice entonces que el polígono está circunscrito al círculo. Al círculo inscrito en un triángulo se le llama incírculo y a su centro, incentro.
    
12. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.
    
13. La teoría excéntrica es la que plantea que los planetas se mueven en círculos cuyos centros no coinciden con la Tierra.
    
14. Una epicicloide es la curva que dibuja el centro de un círculo que se arrastra alrededor de otro círculo. Los epiciclos fueron introducidos originalmente para explicar las órbitas de cuerpos planetarios entre las estrellas fijas.

Bibliografía

1. Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
   
2. Biografía en Encyclopaedia Britannica.
   
4. B Elsner, 'Apollonius Saxonicus' : Die Restitution eines verlorenen Werkes des Apollonius von Perga durch Joachim Jungius, Woldeck Weland und Johannes Müller (Göttingen, 1988).
   
11. J P Hogendijk, Desargues' 'Brouillon project' and the 'Conics' of Apollonius, Centaurus 34 (1) (1991), 1-43.
Más referencias bibliográficas (18 libros/artículos)

Páginas Web relacionadas

• Las cónicas en el Proyecto Descartes